- Um número composto só por algarismos 1, quando elevado a dois, proporciona um resultado, cujo número se inicia com algarismos crescentes, mas a meio do número começa a decrescer. Ora vejamos:
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321

- Repare nesta pirâmide sobreposta:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

- Repare nesta pirâmide sobreposta:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

- Este número é um dos que se inserem na família dos números mágicos. Assim, se se multiplicar o 37 por 3 e seus múltiplos, teremos estes interessantes resultados:
37 x 3 = 111
37 x 6 = 222
37 x 9 = 333
37 x 12 = 444
37 x 15 = 555
37 x 18 = 666
37 x 21 = 777
37 x 24 = 888
37 x 27 = 999

- Para quem desconhece, um número perfeito é o que apresenta a particularidade de ser igual à soma de seus divisores – excluindo-se, evidentemente, o próprio número.
Por exemplo, o número 28 apresenta 5 divisores, menores que 28: 1, 2, 4, 7 e 14. A soma desses divisores: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 é precisamente igual a 28.
Portanto, o número 28 pertence à categoria dos números perfeitos.
O número 6 também é perfeito, pois os divisores de 6 (menores que 6) são: 1, 2 e 3, cuja soma é 6.
Outro número, igualmente perfeito, é o 496. Vamos conferir. Os divisores de 496, menores que 496 são os seguintes: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248. Ora, se somarmos esses números, o que acontece? Exatamente o número 496!

- O número 256 é o protagonista desta interessante amizade quadrática.
Vejamos: se somarmos os algarismos de 256 obtemos a soma 13.
O quadrado de 13 é 169. Somando agora os algarismos de 169 obtemos 16 e o quadrado de 16 é 256. Existe, portanto, entre os números 13 e 16 uma curiosa relação que se pode designar por amizade quadrática.
Se, porventura, os números falassem poderíamos até imaginar o seguinte diálogo: dizia o 16 ao 13: - Quero prestar-te uma homenagem.
O meu quadrado é 256 e a soma dos algarismos desse quadrado é 13. O 13, desvanecido, responderia: - Agradeço a tua simpatia. Quero mesmo retribuir a tua gentileza.
Repara que o meu quadrado é 169 e a soma dos algarismos desse quadrado é o 16.

- A amizade está presente até nos números!
Vejamos: os números 220 e 284, por exemplo.
O número 220 é divisível por 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.
Ou seja são esses os divisores de 220 menores que 220. Quanto ao número 284 é, por sua vez, divisível por 1, 2, 4, 71 e 142.
Isto é são os divisores de 284 menores que 284. Até aqui nada de especial!
Mas há no entanto uma coincidência notável entre esses números: ao somarmos os divisores de 220 obter-se-á uma soma igual a 284 e se somarmos os divisores de 284 o resultado será, curiosamente, 220.
Foi devido a esta relação aritmética que os números 220 e 284 foram considerados, pelos matemáticos, números amigos, porque cada um deles parece existir para servir e louvar o outro.

- Se você multiplicar 12345679 pelos múltiplos de 9, os resultados serão:
12345679 x 9 = 11111111111111111
12345679 x 18 = 22222222222222222
12345679 x 27 = 33333333333333333
12345679 x 36 = 44444444444444444
12345679 x 45 = 55555555555555555
12345679 x 54 = 66666666666666666
12345679 x 63 = 77777777777777777
12345679 x 72 = 88888888888888888
12345679 x 81 = 99999999999999999